Die Gauss-Methode zum Lösen von Matrizen. Lösung des linearen Gleichungssystems nach der Gauss-Methode

Seit Anfang des XVI-XVIII Jahrhunderts haben Mathematiker intensiv begonnen, Funktionen zu studieren, dank denen sich so viel in unserem Leben verändert hat. Computertechnologie ohne dieses Wissen gäbe es einfach nicht. Um komplexe Probleme zu lösen, wurden lineare Gleichungen und Funktionen, verschiedene Konzepte, Sätze und Methoden der Lösung erstellt. Eine dieser universellen und rationalen Methoden und Techniken zur Lösung linearer Gleichungen und ihrer Systeme ist die Gauss-Methode. Matrizen, ihr Rang, Determinante - alles kann ohne Verwendung komplexer Operationen berechnet werden.

Was ist SLAU

In der Mathematik gibt es die Vorstellung von SLAE - ein System von linearen algebraischen Gleichungen. Was ist das? Dies ist ein Satz von m Gleichungen mit unbekannten n unbekannten Werten, üblicherweise bezeichnet mit x, y, z oder x1, x2. .. xn oder anderen Symbolen. Um diese Methode durch Gauss 'Methode zu lösen, müssen alle unbekannten Unbekannten gefunden werden. Wenn das System die gleiche Anzahl

von Unbekannten und Gleichungen hat, wird es ein System n-ter Ordnung genannt.

Die beliebtesten Methoden zur Lösung von SLAE

In den Sekundarschulen werden verschiedene Methoden zur Lösung solcher Systeme untersucht. In den meisten Fällen handelt es sich um einfache Gleichungen, die aus zwei Unbekannten bestehen, so dass jede existierende Methode, um eine Antwort auf sie zu finden, nicht viel Zeit in Anspruch nehmen wird. Dies kann eine Substitutionsmethode sein, wenn eine andere Gleichung aus einer Gleichung abgeleitet und in die ursprüngliche ersetzt wird. Oder die Methode der abgeschlossenen Subtraktion und Addition. Aber Gauss 'Methode wird als die einfachste und universellste angesehen. Es ermöglicht das Lösen von Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten. Warum wird diese Methode als rational angesehen? Es ist einfach. Die Matrix-Methode ist gut, weil es hier nicht erforderlich ist, unnötige Symbole mehrmals in Form von Unbekannten neu zu schreiben, es genügt, arithmetische Operationen an den Koeffizienten durchzuführen - und ein zuverlässiges Ergebnis wird erhalten.

Wo SLAE in der Praxis verwendet wird

Die Lösung von SLAE sind die Schnittpunkte von Linien auf den Funktionsdiagrammen. In unserem Hightech-Zeitalter müssen Menschen, die eng mit der Entwicklung von Spielen und anderen Programmen verbunden sind, wissen, wie sie solche Systeme lösen, was sie darstellen und wie sie die Richtigkeit des Ergebnisses überprüfen können. Meist entwickeln Programmierer spezielle Programme - Rechner der linearen Algebra, dazu gehört ein System linearer Gleichungen. Mit der Gauss-Methode können alle vorhandenen Lösungen berechnet werden. Andere vereinfachte Formeln und Techniken werden ebenfalls verwendet.

Kompatibilitätskriterium SLAE

Ein solches System kann nur dann gelöst werden, wenn es kompatibel ist. Zur Verdeutlichung werden wir SLAU in der Form Ax = b darstellen. Es hat eine Lösung wenn rang( A) gleich rang( A, b) ist. In diesem Fall( A, b) ist eine Matrix einer expandierten Form, die aus der Matrix A erhalten werden kann, um sie mit freien Termen neu zu schreiben. Es stellt sich heraus, dass es sehr einfach ist, lineare Gleichungen mit der Gauss-Methode zu lösen.

Vielleicht ist ein Teil der Notation nicht vollständig verstanden, Sie müssen also alles mit gutem Beispiel betrachten. Angenommen, es gibt ein System: x + y = 1;2x-3y = 6.Es besteht aus nur zwei Gleichungen, von denen zwei unbekannt sind. Das System wird nur eine Lösung haben, wenn der Rang seiner Matrix gleich dem Rang der expandierten Matrix ist. Was ist Rang? Dies ist die Anzahl der unabhängigen Zeilen des Systems. In unserem Fall ist der Rang der Matrix 2. Die Matrix A besteht aus den Koeffizienten in der Nähe der Unbekannten, und die Koeffizienten hinter dem Zeichen "=" treten ebenfalls in die erweiterte Matrix ein.

Warum SLAU in der Matrixform

dargestellt werden kann Basierend auf dem Kompatibilitätskriterium des bewährten Kronecker-Capelli-Theorems kann das System der linearen algebraischen Gleichungen in einer Matrixform dargestellt werden. Mit der Gauss-Kaskadenmethode können Sie die Matrix lösen und eine einzige zuverlässige Antwort auf das gesamte System erhalten. Wenn der Rang einer gewöhnlichen Matrix gleich dem Rang ihrer expandierten Matrix ist, aber kleiner als die Anzahl der Unbekannten, dann hat das System eine unendliche Anzahl von Antworten.

Matrixtransformationen

Bevor Sie mit der Lösung von Matrizen beginnen, müssen Sie wissen, welche Aktionen an ihren Elementen durchgeführt werden können. Es gibt mehrere elementare Transformationen:

  • Um das System in einer Matrixform umzuwandeln und seine Lösung zu realisieren, können Sie alle Elemente der Reihe mit dem gleichen Faktor multiplizieren.
  • Um eine Matrix in eine kanonische Form zu konvertieren, können Sie zwei parallele Zeilen vertauschen. Die kanonische Form impliziert, dass alle Elemente der Matrix, die sich entlang der Hauptdiagonalen befinden, zu Einsen werden und die verbleibenden zu Nullen werden.
  • Die entsprechenden Elemente der parallelen Zeilen der Matrix können untereinander addiert werden.

Die Methode von Jordan-Gauss

Das Wesen der Lösung von Systemen linearer homogener und inhomogener Gleichungen durch die Gauß-Methode besteht darin, Unbekannte nach und nach auszuschließen. Nehmen wir an, wir haben ein System von zwei Gleichungen, in denen zwei Unbekannte sind. Um sie zu finden, müssen Sie das System auf Kompatibilität prüfen. Die Gaußsche Gleichung ist sehr einfach gelöst. Es ist notwendig, die Koeffizienten auszugeben, die sich in der Matrixform in der Nähe jeder Unbekannten befinden. Um das System zu lösen, müssen wir eine erweiterte Matrix ausschreiben. Wenn eine der Gleichungen eine kleinere Anzahl von Unbekannten enthält, muss die Stelle des fehlenden Elements auf "0" gesetzt werden. Alle bekannten Transformationsverfahren werden auf eine Matrix angewendet: Multiplikation, Division durch Zahl, Addition entsprechender Elemente der Reihe untereinander und andere. Es stellt sich heraus, dass in jeder Zeile eine Variable mit dem Wert "1" belassen werden muss, der Rest in der Null-Form. Für ein genaueres Verständnis ist es notwendig, die Gauss-Methode an Beispielen zu betrachten.

Ein einfaches Beispiel für eine Lösung des 2x2

Systems: Zuerst nehmen wir ein einfaches System von algebraischen Gleichungen, in denen es zwei Unbekannte gibt.

Gauß-Methode

Lassen Sie uns es in der erweiterten Matrix umschreiben.

die Gauss-Methode

Um dieses System linearer Gleichungen zu lösen, sind nur zwei Operationen erforderlich. Wir müssen die Matrix in die kanonische Form bringen, so dass es Einheiten entlang der Hauptdiagonalen gibt. Wenn wir also von der Matrixansicht zurück zum System gehen, erhalten wir die Gleichungen: 1x + 0y = b1 und 0x + 1y = b2, wobei b1 und b2 die Antworten im Lösungsprozess sind.

System von linearen Gleichungen

  1. Die erste Aktion zum Lösen der expandierten Matrix wird wie folgt sein: die erste Zeile muss mit -7 multipliziert werden und entsprechend die entsprechenden Elemente zu der zweiten Zeile hinzugefügt werden, um eine Unbekannte in der zweiten Gleichung loszuwerden.
  2. Da die Lösung der Gleichungen durch die Gauss-Methode die Reduktion der Matrix auf die kanonische Form impliziert, müssen die gleichen Operationen mit der ersten Gleichung durchgeführt und die zweite Variable entfernt werden. Dazu nehmen wir die zweite Zeile von der ersten und erhalten die notwendige Antwort - die SLAU-Lösung. Oder, wie in der Abbildung gezeigt, multiplizieren Sie die zweite Zeile mit einem Faktor von -1 und fügen Sie die Elemente der zweiten Zeile der ersten Zeile hinzu. Es ist das Gleiche.

Wie wir sehen können, ist unser System durch die Methode von Jordan-Gauss gelöst. Wir schreiben es in der erforderlichen Form um: x = -5, y = 7.

Beispiel für die SLAE 3x3-Lösung

Angenommen, wir haben ein komplexeres System linearer Gleichungen. Die Gauss-Methode macht es möglich, die Antwort selbst für das scheinbar komplizierteste System zu berechnen. Um ein tieferes Verständnis der Berechnungstechnik zu erhalten, kann man daher zu einem komplexeren Beispiel mit drei Unbekannten übergehen.

lineare Gleichungen nach der Gaußschen Methode

Wie im vorherigen Beispiel schreiben wir das System in Form einer expandierten Matrix neu und beginnen damit, es in die kanonische Form zu bringen.

Lösung von Gleichungen nach der Methode von Gauss

Um dieses System zu lösen, müssen Sie viel mehr Aktionen ausführen als im vorherigen Beispiel.

nach Gauss-Methode lösen

  1. Zuerst müssen Sie ein Element in der ersten Spalte und die restlichen Nullen machen. Multiplizieren Sie dazu die erste Gleichung mit -1 und addieren Sie die zweite Gleichung dazu. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass wir die erste Zeile in der ursprünglichen Form und die zweite bereits in der modifizierten Form umschreiben.
  2. Entfernen Sie als nächstes das gleiche erste Unbekannte aus der dritten Gleichung. Multiplizieren Sie dazu die Elemente der ersten Zeile mit -2 und fügen Sie sie der dritten Zeile hinzu. Jetzt werden die ersten und zweiten Zeilen in der ursprünglichen Form neu geschrieben, und die dritte Zeile ist bereits modifiziert. Wie aus dem Ergebnis ersichtlich ist, erhielten wir die erste Einheit zu Beginn der Hauptdiagonalen der Matrix und die restlichen Nullen. Ein paar weitere Aktionen und das Gleichungssystem nach der Gauss-Methode werden zuverlässig gelöst.
  3. Jetzt ist es notwendig, Operationen an anderen Elementen der Serie durchzuführen. Die dritte und vierte Aktion können zu einer zusammengefasst werden. Es ist notwendig, die zweite und dritte Zeile durch -1 zu teilen, um die Minuszeichen diagonal loszuwerden. Die dritte Zeile haben wir bereits in die gewünschte Form gebracht.
  4. Als nächstes geben wir der kanonischen Form die zweite Zeile. Dazu werden die Elemente der dritten Zeile mit -3 multipliziert und zu der zweiten Zeile der Matrix addiert. Das Ergebnis zeigt, dass die zweite Zeile ebenfalls in die von uns benötigte Form gebracht wird. Es bleibt noch ein paar Operationen zu machen und die Koeffizienten der Unbekannten aus der ersten Zeile zu entfernen.
  5. Um aus dem zweiten Element der Zeile 0 zu machen, multipliziere die dritte Zeile mit -3 und füge sie der ersten Zeile hinzu.
  6. Der nächste entscheidende Schritt ist die Ergänzung der notwendigen Elemente der zweiten Reihe um die erste Zeile. Wir erhalten also die kanonische Form der Matrix und dementsprechend die Antwort.

Wie man sehen kann, ist die Lösung der Gleichungen durch die Gauss-Methode ziemlich einfach.

Beispiel für die Lösung des 4x4

-Systems Einige komplexere Gleichungssysteme können mit der Gauss-Methode mithilfe von Computerprogrammen gelöst werden. Es ist notwendig, in die vorhandenen leeren Zellen Koeffizienten für Unbekannte einzutragen, und das Programm selbst berechnet das erforderliche Ergebnis Schritt für Schritt und beschreibt jede Aktion im Detail.

Gauß-Methode im Detail

Unten finden Sie eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Lösung dieses Beispiels.

• In der ersten Aktion werden freie Koeffizienten und Zahlen in leere Zellen für Unbekannte eingegeben. So erhalten wir die gleiche erweiterte Matrix, die wir manuell schreiben.

• Als nächstes werden alle Zeilen an Orten ausgetauscht, so dass einzelne Elemente auf der Hauptdiagonalen ausgedrückt werden können.

• Und alle notwendigen arithmetischen Operationen werden ausgeführt, um die expandierte Matrix in die kanonische Form zu bringen. Es ist notwendig zu verstehen, dass nicht immer die Antwort auf das System der Gleichungen ganze Zahlen sind. Manchmal kann die Lösung aus Bruchzahlen bestehen.

Überprüfung der Korrektheit der

-Lösung Bei der Jordan-Gauss-Methode wird die Korrektheit des Ergebnisses überprüft. Um herauszufinden, ob die Koeffizienten korrekt berechnet sind, ist es nur notwendig, das Ergebnis im Anfangssystem der Gleichungen zu ersetzen. Die linke Seite der Gleichung muss der rechten Seite entsprechen, die hinter dem Gleichheitszeichen steht. Wenn die Antworten nicht übereinstimmen, dann müssen Sie neu berechnen erneut oder versuchen Sie es zu einem anderen bekannten Verfahren anzuwenden für Sie lineare Gleichungssysteme zu lösen, wie eine Substitution oder glied Subtraktion und Addition. Schließlich ist Mathematik eine Wissenschaft, die eine große Anzahl unterschiedlicher Lösungsmethoden hat. Aber denken Sie daran: Das Ergebnis sollte immer gleich sein, unabhängig davon, welche Entscheidungsmethode Sie verwendet haben.

Gauss Methode: Die häufigsten Fehler in der Lösung linearer Gleichungssysteme

Während Lösung linearer Gleichungssysteme häufig Fehler wie unsachgemäße Übertragungskoeffizienten in der Matrixform ergeben. Es gibt Systeme, in denen einige Unbekannte in einer der Gleichungen fehlen, dann können sie durch Übertragung von Daten in die erweiterte Matrix verloren gehen. Bei der Lösung dieses Systems entspricht das Ergebnis möglicherweise nicht dem tatsächlichen Ergebnis.

Ein weiterer schwerwiegender Fehler könnte ein falsches Schreiben des Endergebnisses sein. Es ist klar zu verstehen, dass der erste Koeffizient dem ersten Unbekannten aus dem System entspricht, der zweite dem zweiten und so weiter.

Die Gauss-Methode beschreibt im Detail die Lösung linearer Gleichungen. Dank ihm ist es einfach, die notwendigen Operationen durchzuführen und das richtige Ergebnis zu finden. Darüber hinaus ist es ein universelles Werkzeug, um eine zuverlässige Antwort auf Gleichungen beliebiger Komplexität zu finden. Vielleicht wird es deswegen oft bei der Lösung von SLAU verwendet.

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